Vad finns det för olika ekvationssystem

Ett ekvationssystem existerar enstaka mängd från ekvationer från flera variabler. Lösningarna mot ekvationssystemet existerar samtliga uppsättningar från värden från variablerna såsom satisfierar varenda ekvationer inom systemet.

Grejen med ekvationssystem är att man bestämmer de ingående ekvationernas gemensamma lösning

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Bestäm skärningspunkterna på grund av linjerna samt , tillsammans andra mening, sök ett svar mot ekvationssystemet

Första steget existerar för att minska dem numeriskt värde ekvationerna tillsammans dem numeriskt värde obekanta mot enstaka ekvation liksom endast innehåller enstaka obekant.

Detta är kapabel göras genom för att notera angående ekvation (B) mot

Genom för att sätta in detta värde vid y inom ekvation (A) förändras ekvation (A) mot

Denna ekvation besitter lösningen Då följer för att

Det finns därför bara enstaka skärningspunkt till dem numeriskt värde linjerna A samt B: den punkt vars x-koordinat existerar x = 1 samt vars y-koordinat existerar y = 0.

Allmänna ekvationssystem

[redigera | redigera wikitext]

Givet m stycken funktioner var varenda funktion beror från n stycken variabler:

Varje ekvation

beskriver ett hyperyta inom detta n-dimensionella Euklidiska rummet.

En yta existerar en platt objekt medan enstaka hyperyta existerar enstaka yta från godtycklig dimensionalitet.

Ett ekvationssystem är en mängd av ekvationer av flera variabler

Om detta finns lösningar mot ekvationssystemet

så existerar dessa dem punkter inom detta n-dimensionella rummet såsom ligger vid samtligam stycken hyperytor. (Systemet besitter endast lösningar angående hyperytorna träffas inom minimalt ett punkt.)

Innehåller ekvationssystemet färre ekvationer än variabler, detta önskar yttra ifall m < n, således existerar systemet underbestämt.

detta förmå då kvar artikel lösbart, dock lösningen blir ej entydig. Lösningen är kapabel mot modell artikel samtliga anförande vid enstaka kurva alternativt linje.

Innehåller systemet fler oberoende ekvationer än variabler, detta önskar yttra ifall m > n, existerar systemet överbestämt samt existerar oftast olösbart.

Överbestämda ekvationssystem existerar vanliga inom forskningen, då man behandlar mätdata liksom innehåller slumpmässiga mätfel.

Alltså det finns ett visst värde på x som funkar som lösning för båda ekvationerna och båda ekvationerna har då samma y-värde

Linjära ekvationssystem

[redigera | redigera wikitext]

Den enklaste formen från ekvationssystem består från raka funktioner:

Var samt ett från dem m ekvationerna

beskriver en strategi inom detta n-dimensionella rummet:

Det raka ekvationssystemet

beskriver skärningspunkterna mellan dem m planen.

En förutsättning till enstaka unik svar mot ekvationssystemet existerar för att detta finns lika flera icke-parallella program vilket detta finns variabler inom ekvationerna, detta önskar yttra för att m = n.

Ekvationssystemet förmå inom matrisform tecknas vilket

eller mera kortfattat

Om A existerar enstaka inverterbar matris tillsammans inversen, är kapabel lösningen mot ekvationssystemet tecknas

För för att detta skall existera möjligt måste matrisen A artikel kvadratisk, detta önskar yttra matrisen måste äga lika flera rader (m) likt kolumner (n).

Dessutom får dess nollrum, N(A), endast innehålla nollvektorn ; nollrummet mot matrisen A består från dem vektorer liksom existerar lösningar mot ekvationssystemet :

Nollrummet N(A) innehåller endast nollvektorn ifall, samt endast ifall, determinanten mot matrisen A ej existerar noll:

där det(A) betecknar determinanten från matrisen A.

Vi vill lösa följande ekvationssystem: $$\left\{\begin{matrix} 3x-y=5\\ x+y=-1 \end{matrix}\right

Sammanfattningsvis:

Varje kvadratisk matris, A, är kapabel associeras tillsammans en speciellt anförande, det(A). detta raka ekvationssystemet Ax = b äger ett unik svar ifall, samt endast ifall, detta anförande ej existerar noll.

Referenser

[redigera | redigera wikitext]

• J. Peterson, Tillämpad linjär algebra, (1993), Jan Peterson
• L.

  Råde samt B.Westergren, BETA: mathematics handbook, (1990), Studentlitteratur

• P.R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces, (1987), Springer-Verlag