furtyga.pages.dev






Bestäm skärningspunkterna mellan linjen och koordinataxlarna

12.


  • bestäm skärningspunkterna mellan linje samt koordinataxlarna

    • Skärningspunkter till linje samt linje

    Bestäm skärningspunkterna på grund av \( y=2x-1 \) samt \( y=-x+5 \).

    För för att hitta skärningspunkten bildar oss en ekvationssystem.

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & 2x-1 \\ y & = & -x+5 \\ \end{array} \right. \)

    Vi löser ekvationssystem antingen genom additionsmetoden alternativt substitutionsmetoden.

    AdditionsmetodenSubstitutionsmetoden
    \( y=-x+5 \) ger för att \( x=-y+5 = -3+5 =2 \).Och \( y \) får oss via \( y=-x+5 = -2+5= 3 \).

    Skärningspunkten existerar \( (2,3) \).

    Det existerar ingen skillnad vilken teknik man använder till för att åtgärda en ekvationssystem.

    detta liksom ni skall titta mot existerar för att ni existerar vän tillsammans med bägge lösningsmetoder. Bägge besitter sina på grund av samt nackdelar samt utgående ifrån vilket vilket man önskar räkna lönar detta sig för att välja metod.

    I fall var ekvationssystemet existerar ett sektion från enstaka större övning, tex inom fysik samt kemi, lönar detta sig för att åtgärda ekvationssystemet vid räknaren.

    Exempel 1Bestäm skärningspunkten på grund av \( y=x-2 \) samt \( y=x+1 \).

    Lösning

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x-2 \\ y & = & x+1 \\ \end{array} \right. \)

    \( \begin{array}{rcl} x-2 & = & x+1 \\ 0x & = & 3\\ \end{array} \)

    \( 0x=3 \) uppfylls inte någonsin. Linjerna saknar gemensamma punkter. Tittar oss närmare vid linjerna märker oss för att dem besitter identisk riktningskoefficient, således dem existerar parallella.

    Exempel 2Bestäm skärningspunkten på grund av \( y=x-2 \) samt \( 3y=3x-6 \).

    Lösning

    \( \left\{ \begin{array}{rcll} y & = & x-2 \\ 3y & = & 3x-6 & \mid /3\\ \end{array} \right. \)

    alltså

    \( \left\{ \begin{array}{rcll} y & = & x-2 \\ y & = & x-2 \\ \end{array} \right. \)

    som ger

    \( \begin{array}{rcl} \hline 0 & = & 0 \\ \end{array} \) \( 0=0 \) uppfylls ständigt således \( x\in \mathbb{R} \) samt \( y=x-2 \) möter ekvationen.

    Vi besitter oändligt tillsammans rötter.

    Exempel 3Lös ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcll} 2a + b - c & = & -1 \\ a +5b+2c & = & 0\\ a+b+c & = & 2 \\ \end{array} \right.

    \)

    Lösning

    Vi börjar tillsammans med för att att ge ett namn till någon eller något raderna.

    \( \left\{ \begin{array}{rcll} 2a + b - c & = & -1 & (1.)\\ a +5b+2c & = & 0 & (2.)\\ a+b+c & = & 2 & (3.)\\ \end{array} \right. \)

    Vi kombinerar (1.) samt (3.) samt får:

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 2a+b-c & = & -1 \\ a+b+c & = & 2 \\ \end{array} \right.

    \)

    som blir

    \( \begin{array}{rcll} \hline 3a+2b & = & 1 & (4.) \\ \end{array} \)

    När oss multiplicerar (3.) tillsammans med -2 samt kombinerar (2.) samt (3.) får vi

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} a+5b+2c & = & 0 \\ -2a-2b-2c & = & -4 \\ \end{array} \right. \)

    \( \begin{array}{rcll} -a+3b=-4 & (5.) \\ \end{array} \)

    Vi kombinerar (4.) samt (5.).

    \( \left\{ \begin{array}{rcll} 3a+2b & = & 1 \\ -a+3b & = & -4 & \mid \cdot 3\\ \end{array} \right.

    \)

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a+2b & = & 1 \\ -3a+9b & = & -12 \\ \end{array} \right. \)

    \( \begin{array}{rcl} \hline 11b & = & -11 \\ b & = & -1 \\ \end{array} \)

    Från raden var oss kombinerar (1.) samt (2.) får oss för att \( 3a=1-2b \) således för att \( a=\dfrac{1-2b}{3}=\dfrac{1-2(-1)}{3}=1 \). samt \( c \) får oss enkel ifrån \( a+b+c=2 \) således för att \( c=2-a-b=2-1-(-1)=2 \).

    Vi besitter alltså \( a=1 \), \( b=-1 \) samt \( c=2 \).

    Exempel 4På enstaka bondgård finns detta kor samt hönor.

    Totalt finns detta 50 huvuden samt 150 ben. Hur flera varelse finns detta från varenda sort?

    Lösning

    Vi bildar en ekvationssystem, \( k \) till kor, \( h \) på grund av hönor. oss vet för att \( k+h=50 \) samt för att \( 4k+2h=150 \). oss ställer upp detta såsom en ekvationssystem.

    \( \left\{ \begin{array}{rcll} k+h & = & 50 & \mid \cdot (-2)\\ 4k+2h & = & 150 \\ \end{array} \right.

    \)

    \( \begin{array}{rcl} \hline 2k & = & 50 \\ k & = & 25 \\ \end{array} \)

    Antalet hönor ifrån oss via \( k+h=50 \), \( h=50-k = 50 - 25 = 25 \).

    Antal kor existerar 25 st samt hönor 25 st.

    Uppgifter

    1. Hur skiljer sig additionsmetoden ifrån substitutionsmetoden? Vilka fördelar besitter bägge lösningsmetoder?

      Additionsmetoden grundar sig vid för att man adderar ihop ekvationerna således för att man klarar från för att eliminera enstaka variabel.

      I substitionsmetoden därför sätter oss in den en ekvationen in inom den andra.

      Subsitutionsmetoden existerar god då man tex skall hitta skärningspunter till funktioner.

      Additionsmetoden används inom dem datorprogrammen såsom löser ekvationer.

    2. Bestäm skärningspunkterna på grund av linjerna genom för att utnyttja dig från additionsmetoden alternativt substitutionsmetoden.
      1. \( y=3x-1 \) samt \( y=-x+3 \).

        Eftersom oss äger \( y = \ldots \) samt \( y = \ldots \) lönar detta sig för att arbeta tillsammans substitutionsmetoden.

        Vi får för att \( 3x-1=-x+3 \).

        Skärningen mellan två plan är vinkelrät mot båda planens normalvektorer

        arbeta vidare ifrån detta.

        Skärningspunkten existerar (1,2).

      2. \( y=3x-1 \) samt \( y=2x-2 \).

        Eftersom oss besitter \( y = \ldots \) samt \( y = \ldots \) lönar detta sig för att arbeta tillsammans med substitutionsmetoden.

        Vi får för att \( 3x-1=-2x-2 \). arbeta vidare ifrån det.

        Skärningspunkten existerar (-1,-4).

      3. \( 2y=x+4 \) samt \( y=-x-1 \).

        Här äger oss \( x \) samt \( -x \). Använder oss oss från additionsmetoden blir oss kvitt \( x \):na.

        Vi får för att \( 3y=3 \). arbeta vidare ifrån det.

        Skärningspunkten existerar (-2,1).

    3. Bestäm skärningspunkterna till linjerna.
      1. \( -3x+y+1 =0 \) samt \( x+y+1=0 \).

        Genom för att uttrycka bägge ekvationer vilket \( y=\ldots \) får oss \( y=3x-1 \) samt \( y=-x-1 \). Via substitutionsmetoden kommer oss enkel åt skärningspunkten (0,-1).

        Närliggande katet är \(3\) då det är en sträcka vi ska ange vilket alltid är positivt

      2. \( y=-x+3 \) samt \( 2x+2y -4= 0 \).

        Genom subsitution får oss \( 2x+2(-x+3)=0 \). Arbetar oss ifrån detta får oss för att dessa ekvationer saknar skärningspunkt. Linjerna existerar parallella. (Samma är kapabel oss konstatera genom för att nedteckna bägge ekvationer liksom \( y=\ldots \).)

      3. \( -2x+y+1=0 \) samt \( y=5 \).

        Substitutionsmetoden ger \( -2x+5+1=0 \). Då oss jobbar vidare ifrån detta får oss skärningspunkten (3,5).

    4. Biljettpriset på grund av enstaka myndig plats 5 € på grund av vuxna samt 2 € till unge mot enstaka spelning. Totalt fanns detta 68 personer vid lokal samt biljettintäkterna fanns 226 €.

      Hur flera unge samt vuxna fanns detta vid konserten?

      Då \( a \) existerar antal ungar samt \( b \) existerar antal vuxna får oss ekvationerna för att titta ut liksom \( a+b=68 \) samt \( 2a+5b=226 \).

      Ekvationssystemet äger lösningen \( a=38 \) samt \( b=30 \).

    5. På enstaka landskapsbild avgränsas enstaka täckt område från \(x\)-axeln samt linjerna \( y = \dfrac{4}{3}x + 8 \) samt \( y = -2x+5 \).

      Bestäm arean från skogen då enstaka fyrkant inom koordinatsystemet motsvaras från 200 m.

      Vi kan skriva denna likhet på parameterform: ⎛⎝⎜1 − 2t1 2 + 3t1 3 − 4t1⎞⎠⎟ = ⎛⎝⎜1 + 2t2 1 − 2t2 4 + 3t2⎞⎠⎟ (1 − 2 t 1 2 + 3 t 1 3 − 4 t 1) = (1 + 2 t 2 1 − 2 t 2 4 + 3 t 2) där t1 t 1 och t2 t 2 är godtyckliga konstanter

      Svara vilket hektar.

      Skärningsupunkten på grund av linjerna existerar \( (-\dfrac{9}{10} , \dfrac{34}{5}) \). titta mot för att ni löser detta.

      Höjden från triangeln existerar \( \dfrac{34}{5} \).

      Basens längd existerar avståndet mellan linjernas nollställen, \( -6 \) samt \( \dfrac{5}{2} \). Längden existerar \( \dfrac{17}{2} \).

      Eftersom \( 1 \text{ äga } = 100 \text{ m } \cdot 100 \text{ m } \) existerar arean direkt likt äga \( A = \dfrac{1}{2}bh = \dfrac{1}{2} 2\cdot \dfrac{17}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{34}{5} = \dfrac{578}{5} = 115,6 \) ha.

      Alltså 116 ha.

    6. Lös ekvationssystemet

      \( \left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{a}{4} +\dfrac{b}{3} & = & 1 \\ \dfrac{a}{8} -\dfrac{b}{2} & = 1 \\ \end{array} \right.

      Eftersom vi har \ (y = \ldots \) och \ (y = \ldots \) lönar det sig att jobba med substitutionsmetoden

      \)

      Då oss fixar försvunnen nämnarna får vi

      \( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a +4b & = & 12 \\ a -4b & = 8 \\ \end{array} \right. \).

      Sedan får oss \( a= 5, b=-\dfrac{3}{4} \).

    7. Bestäm längden från sidorna på grund av triangeln liksom bildas innanför linjerna \( y=-2x-2 \), \( y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \) samt \( y=2 \).

      Situationen existerar följande

      Skärningspunkterna existerar \( (-2,2) \), \( (3,2) \) samt \( (-1,0) \).

      Då oss bestämmer avståndet mellan numeriskt värde punkter, \( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \) därför får oss avstånden \( \sqrt{5} \), \( 2\sqrt{5} \) samt \( 5 \).

    8. För numeriskt värde telefonabonnemang gäller följande:
      Abonnemang AAbonnemang B
      Grundpris per kalendermånad (€)4,992,50
      Pris per 60 sekunder på grund av konversation (€/min)0,070,09
      1. Bilda funktioner vilket beskriver detta total priset på grund av abonnemang A samt B då man talar \( x \) minuter.

        För A: \( y=0,07x+4,99 \) samt på grund av B: \( y=0,09x+2,50 \).

      2. Vid vilken minutmängd existerar kostar detta lika många för att prata oberoende från abonnemang.

        Lös ekvationssystemet från bägge ekvationerna. nära 124,5 minuter.

      3. Hur många kostar detta då?

        Visa lösning

        13,70 €. detta värde likt y får.

  • Lös ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 4x+2y+z & = & 1 \\ \dfrac{1}{3}x -\dfrac{2}{3}y+z & = & 0\\ 3x+2y+z & = & 0\\ \end{array} \right. \).

    Lös ut ifrån någon från ekvationerna, tex \( z \) samt ersätt inom dem numeriskt värde andra \( z \) tillsammans med detta uttrycket.

    oss får \( x=1 \), \( y=-1 \) samt \( z=-1 \).

  • Lös ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a & = & b+c \\ 2a-3b & = & -2-c \\ b-a & = & 1 \\ \end{array} \right. \)

    Lös ut ifrån någon från ekvationerna, tex \( b \) samt ersätt inom dem numeriskt värde andra \( b \) tillsammans med detta uttrycket. oss får \( a=2 \), \( b=3 \) samt \( c=3 \).

  • 0o Celcius motsvaras vid Fahrenheitskalan från temperaturen 32 samt vattnets kokpunkt motsvaras från 212 Fahrenheit.

    på grund av bägge temperaturskalor gäller för att dem existerar raka.

    1. Bilda enstaka funktion såsom tillsammans med vars hjälp förvandlar temperaturen inom Fahrenheit mot enstaka temperatur inom Celcius.

      Eftersom sambande existerar linjärt skall sträcka vandra genom punkterna \( (32,0) \) samt \( (212,100) \).

      Vi får nästa ekvationer, \( 0 = k \cdot 32 + b \) samt \( 100 = k \cdot 212 + b \).

      Vi får lösningarna \( k = \dfrac{5}{9} \) samt \( b = -\dfrac{160}{9} \).

      Funktionen existerar \( f(x) = \dfrac{5}{9}x -\dfrac{160}{9} \).

    2. Ray Bradburys långnovell Fahrenheit 451 besitter fått sin titel efter pappers brännpunkt.

      Hur flera grader Celcius existerar pappers brännpunkt?

      a) 3x-2y+6=0

      Vi får

      \( \dfrac{5}{9}\cdot 451 -\dfrac{160}{9} = 232,77\ldots \).

      Alltså 233oC.

    3. Hur flera Fahtenheit motsvaras från temperaturen -25oC?

      Vi får ekvationen

      \( \dfrac{5}{9}\cdot x -\dfrac{160}{9} = -25 \).

      Alltså -13oF.

  • För en polynom från inledande grad, \( f(x)=ax+b \), vet oss för att \( f(2)=-1 \) samt för att \( f(-1)=5 \).

    Bestäm värdena vid \( a \) samt \( b \) genom en ekvationssystem.

    Ekvationssystemet är

    \( \left\{ \begin{array}{rl} -1 = & a \cdot 2 +b \\ 5 = & a (-1) +b \\ \end{array} \right. \)

    Ekvationerna besitter rötterna \( a=-2 \) samt \( b=3 \).

  • För vilka värden vid \( a \) saknar ekvationssystemet lösningar?

    Jobba vidare från det

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x-1 \\ y & = & ax+a \\ \end{array} \right. \)

    För för att ekvationssystemet skall sakna lösningar skall linjerna existera parallella. eftersom den en sträcka besitter riktningskoefficienten \( 1 \) därför måste den andra linje äga identisk riktningskoefficent därför för att linjerna existerar parallella.

  • För enstaka triangel gäller för att mittpunkterna till sidorna besitter koordinaterna \( (0,5) \), \( (-1,1) \) samt \( (2,2) \).Bestäm hörnpunkterna på grund av triangeln.

    Vi namnger hörpunkterna tillsammans \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) samt \( (x_3, y_3) \).

    För mittpunkter gäller \( (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}) \)

    Vi får ekvationerna \( \dfrac{x_1+x_2}{2}=0, \dfrac{x_2+x_3}{2}=-1 \ldots \) (totalt 6 st ekvationer.)

    Då oss löser ekvationssystemet tillsammans med samtliga ekvationer får oss punkterna \( (-3,4) \), \( (3,6) \) samt \( (1,-2) \).