Räkna ut vinkel med cosinussatsen

I Matte 1-kursen lärde oss oss ifall dem trigonometriska sambanden vilket finns inom rätvinkliga trianglar.

Fall 1: a2 = b2 + c2 − 2⋅b⋅c⋅cosA

oss startar detta denna plats avsnittet tillsammans enstaka repetition från detta oss tidigare äger lärt oss, till för att sedan vandra in vid områden var oss tillämpar dessa grundläggande principer eller fundament inom trigonometrin.

Som oss lärt oss tidigare kallas enstaka triangel rätvinklig ifall den äger enstaka vinkel vilket existerar 90°.

De olika sidorna inom enstaka rätvinklig triangel benämns tillsammans med olika namn inom förhållande mot vinkeln liksom oss studera.

Hypotenusan existerar ständigt den rätvinkliga triangelns längsta blad, medan dem övriga sidorna kallas kateter. Den katet såsom ligger närmast den vinkel oss studera benämns något som ligger nära eller är i närheten, den andra kateten benämns motstående:

Här beskriver oss dem trigonometriska förhållandena inom ett rätvinklig triangel.

$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$

$$\cos v=\frac{närliggande\: katet}{hypotenusan}$$

$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$

Men hjälp från dessa förhållanden är kapabel oss beräkna kvoten (förhållandet) mellan längderna alternativt således kunna oss beräkna vinkeln.

ifall oss vet vinkeln \(v\) sålunda tar oss \(\sin v\), \(\cos v\), alternativt \(\tan v\) samt får ut kvoten. oss kollar vid en exempel,

Vi tar vinkeln 30°

$$\sin(30^{\circ})= \frac{1}{2}$$

det ger oss för att motstående blad existerar hälften sålunda utdragen liksom hypotenusan.

Om oss skulle äga längderna vid numeriskt värde sidor samt önskar hitta vinkeln kommer oss behöva nyttja inversen mot sinus, cosinus samt tangens, vilket existerar arcsinus, arccosinus, arctangens.

vid miniräknaren brukar dem betecknas \(\sin^{-1}\),\(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\).

Cosinussatsen

(Denna beteckning bör ej förväxlas tillsammans med exempelvis \(\frac{1}{\tan}\), då detta ger helt annat resultat.)

---

Låt oss titta vid några exempel

Beräkna sidan x

Vi besitter enstaka vinkel samt något som ligger nära eller är i närheten blad samt söker motstående blad samt oss vet att

$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$

och då kunna oss ställa upp nästa ekvation samt åtgärda ut x

$$\tan(35^{\circ}) = \frac{x}{30}$$

$$30 \cdot \tan(35^{\circ})= x$$

$$x = 21,006...$$

Vi får alltså liksom svar för att x existerar ca 21 cm.

Vi kollar vid en mot liknande exempel.

Beräkna längden vid sidan x

Vi besitter ett vinkel, hypotenusan samt letar efter motstående blad samt oss vet att

$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$

och då förmå oss ställa upp den denna plats ekvationen samt åtgärda ut x

$$\sin(45^{\circ})= \frac{x}{42,5}$$

$$42,5 \cdot \sin(45^{\circ})= x$$

$$x = 30,0520...$$

Vi får för att sidan x existerar 30 m utdragen.

för tillfället kollar oss ett exempel då oss trygg ett vinkel samt behöver nyttja arcsinus, arccosinus samt arctangens.

Beräkna vinkeln v

I triangeln besitter fått värden vid motstående blad samt hypotenusan, sålunda oss använder förhållandet

$$\sin(v) = \frac{28}{35}$$

$$\sin(v) = 0,8$$

Nu applicerar oss arcsin vid båda sidor samt får då inom VL enbart v kvar

$$\arcsin(\sin(v))= \arcsin(0,8)$$

$$v = 53,13^{\circ}$$ 

Vinkeln v existerar ca \(53,13^{\circ}\)

Två viktiga trianglar 

Vinklarna 30°, 45° samt 60° ger oss exakta värden tillsammans sinus, cosinus samt tangens.

till för att visa hur oss kommer fram mot dem på denna plats exakta värdena använder oss oss från numeriskt värde trianglar. Dessa förmå existera god för att behärska rita upp istället på grund av för att minnas dessa utantill.

Vi börjar tillsammans med enstaka kvadrat tillsammans med längd 1 samt dela den vid hälften längs diagonalen på grund av för att producera ett triangel samt tillsammans med Pythagoras sats är kapabel oss beräkna för att diagonalen blir \(\sqrt{2}\) måttenheter.

oss behåller en hörn ifrån kvadraten samt var blir vinkeln rät, dvs 90° samt dem andra numeriskt värde blir delade vid hälften samt blir därför båda 45°.

Med hjälp från denna tringel förmå oss erhålla ut dem exakta trigonometriska värdena till 45°
$$\tan 45 = \frac{1}{1} = 1$$
$$\sin 45 = \frac{1}{\sqrt2}$$
$$\cos 45 = \frac{1}{\sqrt2}$$

Vissa gillar ej för att äga en rottecken inom divisor samt skriver då gärna angående \(\frac{1}{\sqrt 2} \) genom för att förlänga tillsammans \(\sqrt 2\), detta önskar yttra multiplicera tillsammans med detta inom täljare samt nämnare.

Läs mer om cosinussatsen på

$$\frac{1}{\sqrt 2} = \frac{1\cdot \sqrt 2} {\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{ \left( \sqrt 2 \right)^2} = \frac{\sqrt2}{2} $$

Nästa triangel sålunda ritar oss upp ett med lika sidor triangel tillsammans med sidan 2 måttenheter, likt oss delar vid hälften längs höjden. Bottensidan blir då 1 längdenhet samt tillsammans Pythagoras sats erhålla ut för att höjden blir \(\sqrt3\).

Vinkeln såsom bildas mot höjden blir per automatik ett rätvinkel samt eftersom oss ägde ett med lika sidor plats varenda vinklar 60° ifrån start samt den liksom delades inom hälften blir då 30°.

Utifrån den på denna plats triangeln får oss ut exakta trigonometriska värden på grund av 30° samt 60°

$$\sin(30^{\circ})= \frac{1}{2}$$
$$ \cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt 3}{2}$$
$$ \tan (30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt3}$$
$$ \sin (60^{\circ}) = \frac{\sqrt 3}{2}$$
$$ \cos (60^{\circ}) = \frac{1}{2}$$
$$ \tan (60^{\circ}) = \frac{\sqrt3 }{1} = \sqrt3$$

Vi sammanfattar detta del tillsammans dem trigonometriska förhållandena inom enstaka rätvinklig triangel samt exakta värdena på grund av 30, 45 samt 60°.

$$\sin v=\frac{motstående\: katet}{hypotenusan}$$

$$\cos v=\frac{närliggande\: katet}{hypotenusan}$$

$$\tan v=\frac{motstående\: katet}{närliggande\: katet}$$

Vinkel \(v\)	\(\sin(v) \)	\(\cos(v) \)	\(\tan(v) \)
\(30^{\circ}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt 3}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt3}\)
\(45^{\circ}\)	\(\frac{1}{\sqrt 2}\)	\(\frac{1}{\sqrt 2}\)	\(1\)
\(60^{\circ}\)	\(\frac{\sqrt 3}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt 3\)